Part.I Introduction

为了更好地理解 地球自转改正，本文将介绍一个算例。

Part.II 由地球自转引起的误差的概念和改正方法

Chap.I 误差概念

如下图所示，假设在 $t_0$ 时刻，卫星的在 $ECE{F}_0$ 下的坐标为 $(X_0^S,Y_0^S,Z_0^S)$ ，此时它发射了一个信号。信号穿越层层大气，最终在 $t_1$ 时刻到达地球，被接收机所接收，此时接收机在 $ECE{F}_1$ 下的坐标为 $(X_{R1},Y_{R1},Z_{R1})$ 。所有的计算都是在 $ECE{F}_1$ 下开展的，存在这样一个矛盾，因此将其称之为地球自转引起的一个误差项。

Chap.II 改正方法

改正方法有两种

• §1 改正坐标 ：将卫星的坐标从 $(X_0^S,Y_0^S,Z_0^S)$ 转换为 $(X_{R1},Y_{R1},Z_{R1})$ .
• §2 改正距离 ：看上面的图，接收机是固联在地球上与地球一起转动的（静态情况下），对于卫星而言，接收机在信号传播的过程中有一个旋转。但是从数字层面考量，接收机的坐标并没有发生变化（因为坐标系是地固系），换句话说，信号接收时刻和信号发射时刻，卫星认为接收机的坐标是一样的。通过数据计算得到的卫星至接收机的距离是图中的 $\rho$ ，但是真实的卫星至接收机的距离是 $\rho +\Delta \rho$ ！所以，只需要改掉 $\Delta \rho$ 就行了。

下面只放结论，细节请 移步这里。

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改正坐标
$$\left[\begin{array}{c}\Delta X^S\\ \Delta Y^S\\ \Delta Z_1^S\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}\alpha \cdot Y_0^S\\ -\alpha \cdot X_0^S\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\omega \tau \cdot Y_0^S\\ -\omega \tau \cdot X_0^S\\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

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改正距离
$$\Delta \rho =\frac{\omega }{c}\left[Y_0^S(X_0^S-X_{R0})-X_0^S(Y_0^S-Y_{R0})\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$

Part.II 算例分析

Chap.I 基础数据

卫星坐标

G03  12712.882254  23247.798196  -2637.709427

接收机坐标

-2267752.0605993434, 5009151.1456511570, 3221301.4797024932

常量

OMEGA = 7292115.1467e-11    # rad/s
CLIGHT = 2.99792458e+8      # m/s

Chap.II 计算过程

卫星至接收机的距离

distance = np.linalg.norm(sat_crd - rec_crd)
# 卫星至接收机的距离:  24318627.829295974 m

信号传播时间

tau = distance / CLIGHT     # [s]
# 信号传播时间:  0.08111821088339712 s

地球自转角度

ang = OMEGA * tau           # [rad]
ang_deg = ang * 180 / G_PI  # [deg]
# 地球旋转角度:  0.00033891790536376496 °

卫星坐标改正量

delta_X_sat = OMEGA * ang * sat_crd[1]
delta_Y_sat = -OMEGA * ang * sat_crd[0]
# 卫星坐标改正量 (delta_X_sat,delta_Y_sat):  (0.010027836078424127, -0.005483646160923473) 
m

卫星至接收机的距离改正量

delta_rho = OMEGA / CLIGHT * (
    sat_crd[1] * (sat_crd[0] - rec_crd[0]) - 
    sat_crd[0] * (sat_crd[1] - rec_crd[1])
)
# 卫星至接收机的距离改正量:  28.313234929582023 m

可见，由于地球自转，对于此颗星的距离量测有 28 m 误差之多！

Appendix

所用源码如下：

import numpy as np

def compute():
    # Initail value
    sat_crd = np.array([12712882.254, 23247798.196, -2637709.427])
    rec_crd = np.array([-2267752.0605993434, 5009151.1456511570, 3221301.4797024932])
    OMEGA = 7292115.1467e-11    # [rad/s]
    CLIGHT = 2.99792458e+8      # [m/s]
    G_PI = 3.14159265358979311599796346854419e0
    # Calculate
    distance = np.linalg.norm(sat_crd - rec_crd)
    tau = distance / CLIGHT     # [s]
    ang = OMEGA * tau           # [rad]
    ang_deg = ang * 180 / G_PI  # [deg]
    delta_X_sat = OMEGA * ang * sat_crd[1]
    delta_Y_sat = -OMEGA * ang * sat_crd[0]
    delta_rho = OMEGA / CLIGHT * (
        sat_crd[1] * (sat_crd[0] - rec_crd[0]) - 
        sat_crd[0] * (sat_crd[1] - rec_crd[1])
    )
    # Output
    print("卫星至接收机的距离: ", distance, "m")
    print("信号传播时间: ", tau, "s")
    print("地球旋转角度: ", ang_deg, "°")
    print("卫星坐标改正量 (delta_X_sat,delta_Y_sat): ", (delta_X_sat, delta_Y_sat), "m")
    print("卫星至接收机的距离改正量: ", delta_rho, "m")

Reference

• Kaplan E D , Hegarty C .Understanding GPS/GNSS: Principles and Applications[M]. 2017.
• 地球自转改正（附图文）
• 【GNSS】地球自转改正